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拉普拉斯矩阵是图论中一个比较重要的概念，同时也可以用来表示三角网格曲面/点云的几何结构。
假设有一个简单无向图$G(V,E)$，其中$V$是节点的集合，$V={1,2,…,n}$，$E$为边的集合。$G$的邻接矩阵(adjacency matrix)$A$为一个$n \times n$的矩阵，其中每个元素的值为：
\[A[i,j]=\left\{ \begin{matrix} w_{ij}\quad (i \neq j,ij \in E) \\ 0 \quad (otherwise) \end{matrix} \right.\]其中$w_{ij}$为对应边的权重。
而$G$的度矩阵(degree matrix)$D$为一个对角矩阵，对角线上的一个元素$D_{ii}$的值为与$i$相连的所有边的权重之和。
那么$G$的拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix)即为二者的差：
\[L = D-A\]于是，$L$中的每个元素有如下的特点：
\[L[i,j]=\left\{ \begin{matrix} D_{ii} \quad (i = j)\\ -w_{ij} \quad (i \neq j,ij \in E)\\ 0 \quad (otherwise) \end{matrix} \right.\]拉普拉斯矩阵可以用来表示点云中点之间的距离关系。假设点云中的两点${x_i,x_j}$在距离小于$\epsilon$时被看做是连通的，这条边的权重用一个高斯核函数来计算：
\[w_{ij} = e^{-\frac{1}{\epsilon}\|x_i-x_j\|^2}\]我在上学期的图论课上学过拉普拉斯矩阵的定义，但是仅限于了解，最近又在一篇点云配准的论文上看到了这个概念，所以想把它记下来。它具体会在算法中起到什么作用，还有待后续补充。